前言
在高中数学中，经常会碰到求线段长度或者直线与曲线相交得到的弦的长度，所用到的求解公式与所处的坐标系和采用的方法都有关。不同的坐标系下，弦长公式有不同的刻画形式。
弦长公式1
【公式】： ∣ A B ∣ = 1 + k 2 ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ |AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2| ∣AB∣=1+k2
⋅∣x1−x2∣， 推导过程1
【使用条件】：在直角坐标系下使用，针对直线的普通方程和曲线的普通方程，说明： k k k 为直线的斜率，直线和曲线的交点为 A ( x 1 ， y 1 ) A(x_1，y_1) A(x1，y1) ， B ( x 2 ， y 2 ) B(x_2，y_2) B(x2，y2) ；
直线为 l : 2 x − y − 3 = 0 l: 2x-y-3=0 l:2x−y−3=0，曲线为 C ： x 2 + y 2 − 4 y − 12 = 0 C：x^2+y^2-4y-12=0 C：x2+y2−4y−12=0，求直线 l l l被 ⊙ C \odot C ⊙C截得的弦长。
设直线和圆的交点为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2) A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得到方程组， { 2 x − y − 3 = 0 x 2 + y 2 − 4 y − 12 = 0 \left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x^2+y^2-4y-12=0}\end{array}\right. {
2x−y−3=0x2+y2−4y−12=0
消去 y y y得到， x 2 + ( 2 x − 3 ) 2 − 4 ( 2 x − 3 ) − 12 = 0 x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0 x2+(2x−3)2−4(2x−3)−12=0，整理得到， 5 x 2 − 20 x + 9 = 0 5x^2-20x+9=0 5x2−20x+9=0，
由韦达定理得到， x 1 + x 2 = 4 x_1+x_2=4 x1+x2=4， x 1 x 2 = 9 5 x_1x_2=\cfrac{9}{5} x1x2=59，
由弦长公式得到， ∣ A B ∣ = 1 + k 2 ∣ x 1 − x 2 ∣ |AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2| ∣AB∣=1+k2
∣x1−x2∣ = 1 + 2 2 ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 =\sqrt{1+2^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} =1+22
(x1+x2)2−4x1x2
= 5 16 − 36 5 = 2 11 =\sqrt{5}\sqrt{16-\cfrac{36}{5}}=2\sqrt{11} =5
16−536
=211
。
弦长公式2
【公式】： ∣ A B ∣ = ∣ t 1 − t 2 ∣ |AB|=|t_1-t_2| ∣AB∣=∣t1−t2∣，可以类比一维数轴上的两点间的距离公式来理解；
【使用条件】： 在直角坐标系下，针对直线的参数方程和曲线的普通方程使用，还要注意直线的参数方程在使用时必须验证其是否为标准形式。说明：其中点 A A A， B B B 为直线和曲线的交点，直线上的点 A A A， B B B 所对应的参数分别为 t 1 t_1 t1和 t 2 t_2 t2 .
【北师大选修教材4-4 P 53 P_{_{53}} P53 A A A组第 8 8 8 题】 求直线 { x = − 3 2 t y = 2 + t 2 , \left\{\begin{array}{l}x=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}t\\y=2+\cfrac{t}{2}\end{array}\right., ⎩
⎨
⎧x=−23
ty=2+2t, ( t t t 为参数) 被曲线 y 2 − 3 x 2 = 0 y^{2}-3x^{2}=0 y2−3x2=0 截得的线段长.
解析：将直线的参数方程 { x = − 3 2 t y = 2 + t 2 \left\{\begin{array}{l}x=-\cfrac{\sqrt{3}}{2} t\\y=2+\cfrac{t}{2}\end{array}\right. ⎩
⎨
⎧x=−23
ty=2+2t ( t t t 为参数)代人曲线方程 y 2 − 3 x 2 = 0 y^{2}-3 x^{2}=0 y2−3x2=0，
得 t 2 − t − 2 = 0 t^{2}-t-2=0 t2−t−2=0，解得 t 1 = 2 t_{1}=2 t1=2， t 2 = − 1 t_{2}=-1 t2=−1，
由参数的儿何意义知，截得的线段长为 ∣ t 1 − t 2 ∣ = ∣ 2 − ( − 1 ) ∣ = 3 |t_1-t_2|=|2-(-1)|=3 ∣t1−t2∣=∣2−(−1)∣=3.
【北师大选修教材4-4 P 53 P_{_{53}} P53 A A A组第 9 9 9 题】求抛物线 y 2 = 3 x y^{2}=3x y2=3x 截直线 { x = 1 + 2 t y = 3 t , \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=3t\end{array}\right., {
x=1+2ty=3t,( t t t 为参数) 所得的弦长.
解析：直线的参数方程 { x = 1 + 2 t y = 3 t \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=3t\end{array}\right. {
x=1+2ty=3t 可以化成 { x = 1 + 2 13 ( 13 t ) y = 3 13 ( 13 t ) , \left\{\begin{array}{l}x=1+\cfrac{2}{\sqrt{13}}(\sqrt{13}t)\\y=\cfrac{3}{\sqrt{13}}(\sqrt{13} t)\end{array}\right., ⎩
⎨
⎧x=1+13
2(13
t)y=13
3(13
t),
将直线方程 { x = 1 + 2 t y = 3 t , \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=3 t\end{array}\right., {
x=1+2ty=3t, 代人 y 2 = 3 x y^{2}=3x y2=3x，
得 3 t 2 − 2 t − 1 = 0 3t^{2}-2t-1=0 3t2−2t−1=0， 解得 t 1 = − 1 3 , t 2 = 1 t_{1}=-\cfrac{1}{3}, t_{2}=1 t1=−31,t2=1，
由参数的儿何意义知,所得的弦长为 13 ∣ t 2 − t 1 ∣ = 4 13 3 \sqrt{13}|t_{2}-t_{1}|=\cfrac{4\sqrt{13}}{3} 13
∣t2−t1∣=3413
.
弦长公式3
【公式】 A B = ρ A 2 + ρ B 2 − 2 ⋅ ρ A ⋅ ρ B ⋅ cos ( θ 1 − θ 2 ) ① AB=\sqrt{\rho_{_{A}}^2+\rho_{_{B}}^2-2\cdot\rho_{_{A}}\cdot\rho_{_{B}}\cdot\cos(\theta_1-\theta_2)} ① AB=ρA